Didáctica de fracciones, proporcionalidad y potencias

1. DIDÁCTICA DE LAS FRACCIONES

Las fracciones están presentes en nuestro día a día. El lenguaje cotidiano refleja situaciones tales como: "me he comido la mitad del bocadillo", "quiero tres cuartos de jamón cocido", etc. Las fracciones usadas se restringen a unas pocas y hacen referencia a situaciones de medida de magnitudes, de tiempo, de comparación, de reparto, etc.Debemos huir del enfoque memorístico y del aprendizaje de las fracciones como meras reglas con las que operar. Podemos utilizar las situaciones cotidianas que he mencionado, para que comprendan el significado y conseguir así un aprendizaje significativo y duradero.

•  SIGNIFICADO DE LA FRACCIÓN COMO PARTE DE UN TODO

Para explicar el concepto de fracción experimentaremos con un todo o una unidad que se divide en partes iguales.  Como ejemplo, cogemos una tira de papel y realizamos cuatro cortes, obteniendo así cinco partes iguales, tomando dos de ellas.

1. La expresión  2/5 plasma la acción realizada. Hemos separado en 5 partes y hemos cogido 2. En este caso la unidad de partida es un material continuo.

1. Otro ejemplo puede ser una unidad compuesta por elementos separados (conjunto discreto de objetos): un grupo de 5 alumnos, donde 3 son niños y 2 son niñas. Las niñas son 2/5 del total de los alumnos.

El concepto de fracción como parte de un todo, es la forma más intuitiva, cercana y comprensible para nuestros estudiantes. Por lo tanto, los ejemplos y las actividades contempladas se centrarán en ofrecer esta visión. Los modelos continuos o de áreas son los más indicados para el aprendizaje (tartas, pizzas, tiras de papel, etc).

Para facilitar el aprendizaje de los conceptos, proponemos diversos ejercicios manipulativos:

• Facilitamos materiales (tiras de papel, plastilina, etc) y les pedimos que comprueben que la unidad se puede dividir en partes.

• El mismo material que facilitamos, cada estudiante lo dividirá en diferentes partes. Comprobarán así, que la misma unidad se puede dividir en un número diferente de partes iguales.

• Al partir un todo, las partes agotan esa unidad y cada parte es igual.

• Al unir las partes, comprobarán que la unidad o el "todo" se conserva aunque hayamos realizado divisiones.

    * Debemos estar atentos a uno de los errores más comunes detectados en el alumnado: comparar entre las partes en vez de comparar la parte con el todo.

    Algunos experimentos sugieren que es más complicado para los estudiantes aprender la idea de fracción a través de conjuntos discretos de objetos. Por lo tanto, al iniciar su aprendizaje tendremos en cuenta el uso de conjuntos continuos para después operar con conjuntos discretos.

• REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES

La representación de fracciones ayuda en la comprensión del concepto. En ocasiones se representan situaciones con material de tipo continuo y otras con material discreto. Aporto un ejemplo a continuación:

Ejemplo: La parte sombreada en verde en el círculo  y las bolas verdes de la segunda imagen, corresponden ambas a 2/4 . En un caso se hace sobre un círculo, en una situación continua. En otro caso, con bolas, que pertenece a la clasificación discreta.

o   Modelo lineal (recta numérica).

Se consideran las fracciones como puntos de la recta numérica. Una ventaja     que ofrece la representación es que las fracciones impropias son más fáciles de comprender y que se visualiza mejor el conjunto de los números naturales y su relación con los enteros.

Las dificultades que nos encontraremos serán las asociadas a las decisiones que deben tomar en torno a la longitud destinada a la unidad.

o   Modelo de área.

Para la representación se sigue el mismo sistema que en el modelo lineal. Se divide la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y se marcan las que indica el numerador.

o   Modelo de conjunto.

Es un modelo de tipo discreto. La unidad es un conjunto y las partes son cada uno de los elementos del mismo.

•  FRACCIÓN COMO DIVISIÓN

La fracción a/b puede interpretarse como el cociente entre dos números enteros. Por ejemplo:

Cinco amigos quieren repartirse tres pizzas de manera equitativa. ¿Cuánta pizza le corresponde a cada uno de los amigos?

Las respuestas de los estudiantes plasman tres dividido entre cinco: Tres pizzas repartidas entre cinco amigos.

• EQUIVALENCIA Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Para los estudiantes resulta complejo entender que fracciones diferentes (formadas por distintos números), representen cantidades iguales y sean equivalentes.

Son útiles los ejercicios manipulativos en los que puedan comprobar in situ que diferentes fracciones representen la misma cantidad.

Os dejo un ejercicio muy divertido que podemos imprimir. Se trata de localizar y colorear las fracciones equivalentes. Si lo hacemos bien, encontraremos que aparece un bonito dibujo:

Colorea las fracciones equivalentes 

•  DIFICULTADES MÁS COMUNES EN EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES

1. Confusión de un número entero con su inverso.

1. Considerar una fracción tal que 1/2, menor que la fracción 1/3. argumentando que 2<3.
2. Problemas al operar entre fracciones, tanto en la suma, resta, multiplicación y división.

• MATERIALES Y RECURSOS

Para la enseñanza de las fracciones es necesario el uso de materiales y recursos manipulativos. Para resolver los problemas es necesario seguir los siguientes pasos: representar la situación y los datos, realizar el proceso y la búsqueda de soluciones y, por último, comprobar si el resultado es el correcto.

Ejemplo de materiales manipulativos y recursos:

• Geoplanos.
• Regletas.
• Tangram.
• Multicubos.
• Papel: Es un recurso muy accesible y es muy fácil de manejar. El ejercicio es muy sencillo: con una tira de papel vamos realizando dobleces por la mitad consiguiendo así una serie de fracciones (1/2, 1/4, 1/8...). A través de esta actividad podemos representar fracciones, fracciones equivalentes y realizar operaciones.
• Juegos de mesa: Existen en el mercado una gran variedad de juegos de mesa con los que trabajar el concepto de fracciones.
• Dominó de fracciones: la idea principal es unir dos partes de un rectángulo como si fuera un puzzle. A continuación os dejo un enlace donde se puede imprimir el dominó. Dominó para imprimir
• Bingo de fracciones: El objetivo es relacionar la fracción con su representación en el modelo de área. Aquí un enlace donde se puede imprimir el juego. Bingo para imprimir

2. DIDÁCTICA DE LA PROPORCIONALIDAD

Los conceptos relacionados con la proporcionalidad están presentes en la vida cotidiana y académica de los escolares de Primaria. En los periódicos, radio, prensa o televisión aparecen términos relacionados con la proporción (razón, desproporción, relación, etc). A nivel gráfico, en sus libros de texto, están presentes los diagramas de barras y de sectores, que son proporcionales a las cantidades que representan.

El correcto aprendizaje de la proporción, facilitará más adelante, la adquisición de conocimientos relacionados en otras áreas: geometría, álgebra, biología, física, química, etc.

Las actividades que propondremos para agilizar el aprendizaje serán:

• Ejercicios y problemas sobre razones y proporciones.
• Favorecer la experimentación y el pensamiento crítico sobre los procesos que subyacen a la proporción. Facilitaremos ejemplos donde tendrán que decidir si existe proporcionalidad o no.
• Uso de tablas de proporcionalidad.
• Ejercicios sobre cálculo de porcentajes y mapas a escala.
• En Primaria, usaremos el método de reducción a la unidad, evitando las reglas de tres.

    MATERIALES Y RECURSOS

1. Pantógrafo: Es una herramienta para realizar figuras proporcionales con respecto a una figura inicial. 
2. Figuras geométricas planas (Recursos de elaboración propia): Los estudiantes fabricarán diferentes figuras geométricas siguiendo un esquema y verificarán si guardan proporción entre ellas.
3. Juegos de mesa: rectángulos similares, baraja de proporciones, dominós, etc.
4. Materiales manipulativos usados en las fracciones: geoplanos, tangram, regletas, tiras de papel, etc.
5. Calculadora.
6. Recursos en internet.
7. Actividades en situaciones reales: recortes de periódico de las secciones de economía, recibos de la compra, problemas sobre porcentajes, etc.

3. DIDÁCTICA DE LOS DECIMALES

 Los principales problemas a los que se enfrentan nuestros alumnos en este área son:

• Extrapolar el conocimiento de los números naturales a los decimales, aplicándolo de forma equivocada. Errores debido a una deficiente comprensión de la notación decimal. Algunos ejemplos son los siguientes:
• Interpretar los números que hay después de la coma como naturales.
• Confusión con respecto a la escritura y lectura de los números. Ejemplo: Decir que 27 milésimas es 27.000.
•  Confusión con respecto al cero, obviándolo cuando va antes de la coma y añadiendo valor cuando va al final. Ejemplos:
• Obviarlo: Cuando ven 0,026, dicen que es igual a 26.
• Pensar que el 0 tiene valor cuando va a la derecha. Por lo tanto entienden que 1,26 es diferente de 1,260.
• Errores con el orden entre decimales. A continuación ofrezco varios ejemplos
• ¿Qué número es mayor 0,14 o 0,2? La respuesta de los escolares de Primaria es que el primero es mayor, ya que ordenan la parte decimal como un número natural (14>2).
•  ¿Hay algún número entre 1,23 y 1,24? La mayoría responden que no hay ninguno. Para que lo comprueben les invitamos a que añadan una cifra decimal más (1,230 - 1,240).
• Dificultades a la hora de realizar operaciones: Debemos recordar que para realizar sumas y restas es imprescindible que las comas estén en la misma columna. Cuando se trata de multiplicación y división los problemas aumentan. Que el producto de una centésima por otra, sea una diezmilésima escapa a la comprensión de los más pequeños.

     MATERIALES Y RECURSOS

• Regletas transparentes y opacas.
• Reglas deslizantes. Permiten cálculos manipulativos de adición y resta.
• Situaciones de la vida cotidiana como:
• Autobús escolar: Representación gráfica de las personas que suben y bajan, para calcular el total.
• Garaje.
• Prensa.
• Termómetro.
• Juegos y pasatiempos:
• Ruletas: Juego de equipos donde se usan dos ruletas con números enteros y una serie de operaciones. Los equipos juegan por turnos y anotan los resultados. Gana el equipo cuya puntuación esté más alejada del cero.
• Cuadrados mágicos y cartas.
• Juego de dados con números naturales y dos colores (uno para los números positivos y otro para los negativos). Se juega en parejas lanzando los dados y realizando las operaciones. Con el resultado avanzan o retroceden en la recta numérica.

BIBLIOGRAFÍA 

Castro, E (VVAA). (2001). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.

Chamorro, Mª. C. (2003). Didáctica de las matemáticas para Primaria. Madrid: Pearson Educación.

Godino, J. D. (2004). Matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. ISBN: 84-933517-2-5. (Recuperable en, http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/8_matematicas_maestros.pdf)

Godino, J. D. (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. ISBN: 84-933517-1-7. (Recuperable en, http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/9_didactica_maestros.pdf)

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